Question

18．为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．
（Ⅰ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为$\frac{2}{3}$，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．
（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（Ⅰ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为$\frac{2}{3}$，
故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为$\frac{2}{3}$，…（2分）
设“在该社区老人中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，
则$P（A）=1-C_3^0×{（1-\frac{2}{3}）^3}=1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}$；                …（5分）
（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{4}{220}=\frac{1}{55}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_8^1C_4^2}{{C_{12}^3}}=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_8^2C_4^1}{{C_{12}^3}}=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{56}{220}=\frac{14}{55}$，…（9分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$

$Eξ=0×\frac{1}{55}+1×\frac{12}{55}+2×\frac{28}{55}+3×\frac{14}{55}=2$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．