Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinβ，cosβ）．
（1）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|的最小值；
（2）若向量$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$=$\frac{3}{5}$，β∈（0，π），求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$的坐标，代入模的公式化简，则|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|的最小值可求；
（2）利用数量积求得$sin（β-\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，结合角的范围及平方关系求得cos（$β-\frac{π}{3}$），再利用“拆角、配角”方法求得sinβ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinβ，cosβ），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（2cosα+sinβ，2sinα+cosβ）$，
则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（2cosα+sinβ）^{2}+（2sinα+cosβ）^{2}}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+4cosαsinβ+si{n}^{2}β+4si{n}^{2}α+4sinαcosβ+co{s}^{2}β}$
=$\sqrt{5+4sin（α+β）}$．
∴当sin（α+β）=-1时，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}_{min}=1$；
（2）由$\overrightarrow{b}$=（sinβ，cosβ），$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$=$\frac{3}{5}$，
得$-\frac{1}{2}sinβ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosβ$=$-sin（β-\frac{π}{3}）=\frac{3}{5}$，
即$sin（β-\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，
∵β∈（0，π），∴$-\frac{π}{3}＜β-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴cos（$β-\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$，
则sinβ=sin[（$β-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（$β-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（$β-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$-\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换运用，考查计算能力，是中档题．