Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），经过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆方程；
（2）直线MN方程为y=kx+m，分别交椭圆于M，N两点
①M，N与椭圆左顶点的两条连线斜率乘积为-$\frac{1}{2}$，求证直线MN过定点，并求出定点坐标．
②△MON的重心G在以原点为圆心，$\frac{2}{3}$为半径的圆上，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，从而代入点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）求解即可；
（2）①设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），从而联立方程并应用韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，再利用斜率公式求直线的斜率，从而化简求得．
②结合①知求出△MON的重心G（-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$，$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$））；从而得到[-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$]²+[$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）]²=$\frac{4}{9}$，从而独立m求解即可．

解答 解：（1）∵两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形，
∴c=b，
∴a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{2{b}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，∴b=1，a=$\sqrt{2}$；
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程可得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，
消y化简可得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
故x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²（x₁•x₂）+km（x₁+x₂）+m²
=k²$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-km$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$+m²，
左顶点A（-$\sqrt{2}$，0）；
故k_MA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}}$，k_NA=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+\sqrt{2}}$，
故k_MA•k_NA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即2y₁•y₂+x₁•x₂+$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+2=0，
即2（k²$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-km$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$+m²）+$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\sqrt{2}$$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$+2=0，
即m=0或m=$\sqrt{2}$k，
故直线MN的方程为y=kx或y=k（x+$\sqrt{2}$）（过点A，舍去）；
故直线MN过定点（0，0）；
②由①知，x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=（kx₁+m）+（kx₂+m）=2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
故△MON的重心G（-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$，$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$））；
故[-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$]²+[$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）]²=$\frac{4}{9}$，
化简可得，m²=$\frac{（1+2{k}^{2}）^{2}}{1+4{k}^{2}}$=1+$\frac{4{k}^{4}}{1+4{k}^{2}}$≥1，
故m≥1或m≤-1．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及数形结合的思想应用，同时考查了学生的化简运算能力，属于难题．