Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x，F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m=-1时，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=F（x）相切？说明理由．

Answer 1

分析 （I）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间．
（II） 先表示出过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的直线，进而假设函数，可求得切线的条数．

解答 解：（I）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx的定义域是（0，+∞）．          
∵f′（x）=x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$=$\frac{（x+\sqrt{m}）（x-\sqrt{m}）}{x}$              
令f′（x）=0得：x=$\sqrt{m}$或x=-$\sqrt{m}$（舍去）．        
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{m}$，∴此时f（x）是增函数；
由f′（x）＜0得0＜x＜$\sqrt{m}$，∴f（x）是减函数．
∴函数f（x）的增区间是（=$\sqrt{m}$，+∞），减区间是（0，$\sqrt{m}$）．
（II）设切点为（x₁，y₁）
当n=-1时，F（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x，
F′（x）=$\frac{1}{x}$+2，
切线方程为y-5=（$\frac{1}{{x}_{1}}$+2）（x-2），切点在y=F（x）上，即y₁=lnx₁+2x₁，
∴lnx₁+2x₁-5=（$\frac{1}{{x}_{1}}$+2）（（x₁-2），
即lnx₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-2=0，
令$h（x）=lnx+\frac{2}{x}-2$
∴${h}^{/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$，
由h′（x）=0可得，x=2，
由h′（x）＞0得x＞2，由h′（x）＜0，得x＜2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，
∵h（2）=ln2-1＜0，且h（$\frac{1}{e}$）=2e-3＞0，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性和导数的关系以及导数的几何意义是解决本题的关键．考查学生的运算能力．