Question

13．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）满足f（b）≥f（c），记f（x）的最小值为m（b，c）．
（Ⅰ）证明：当b＞0时，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）当b，c满足m（b，c）≥1时，求f（1）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据不等式的性质结合一元二次函数的性质即可证明：当b＞0时，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）根据不等式的进行转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（b）≥f（c）得：2b²≥c²+bc
即（c+2b）（c-b）≤0
又 b＞0∴-2b≤c≤b，
$m（b，c）=c-\frac{1}{4}{b^2}≤b-\frac{1}{4}{b^2}≤1$（当且仅当b=c=2时等号成立）…（6分）
（Ⅱ）由$m（b，c）=c-\frac{1}{4}{b^2}≥1$得：$c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
又（c+2b）（c-b）≤0
ⅰ）当b＞0时，-2b≤c≤b，∴$b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
即b²-4b+4≤0
解得b=2
代入$b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$得c=2
所以f（1）=5
ⅱ）当b＜0时，b≤c≤-2b，∴$-2b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
即b²+8b+4≤0
解得$-4-2\sqrt{3}≤b≤-4+2\sqrt{3}$，
$f（1）=1+b+c≤1+b-2b=1-b≤5+2\sqrt{3}$
当$b=-4-2\sqrt{3}，c=8+4\sqrt{3}$时等号成立．
ⅲ）当b=0时，c=0，与题意不符．
综上知：f（1）的最大值为$5+2\sqrt{3}$．  …（14分）

点评 本题主要考查函数最值的求解以及不等式的应用，利用不等式的性质进行转化推理是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．