Question

8．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=3相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由于双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x-2）²+y²=3相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0．
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的渐近线与（x-2）²+y²=1相切，
∴圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，化为2b=$\sqrt{3}$c，
两边平方得3c²=4b²=4（c²-a²），化为c²=4a²．
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．