Question

18．在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$”发生的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 先化简不等式，确定满足sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$且在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．

解答 解：∵2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即sinx+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]内，满足sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，
x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴在区间[0，π]内，满足sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，
x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]；
∴事件“2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cosx≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$”发生的概率为
P=$\frac{\frac{5π}{12}-\frac{π}{12}}{π-0}$=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了几何概型与三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．