Question

5．函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x+x-5的零点为x₁、x₂，函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x+x-5的零点为x₃、x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的值为10．

Answer 1

分析 由函数与方程的关系转化为图象的交点问题，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称的性质进行转化求解．

解答 解：由f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x+x-5=0得（$\frac{1}{3}$）^x=5-x，
由g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x+x-5的得log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=5-x
分别作出函数y=（$\frac{1}{3}$）^x，y=5-x和y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的图象，
∵y=（$\frac{1}{3}$）^x和y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的图象关于y=x对称，
则（$\frac{1}{3}$）^x=5-x，与log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=5-x的根关于y=x对称，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=5-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
即两直线的交点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{{x}_{2}+{x}_{4}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即x₁+x₃=5，x₂+x₄=5，
则x₁+x₂+x₃+x₄=10，
故答案为：10．

点评 本题主要考查函数与零点的应用，结合指数函数和对数函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．