Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$xcos$\frac{π}{2}$x+cos²$\frac{π}{2}$x-$\frac{1}{2}$（-1≤x≤1），g（x）是定义域为[-1，1]的偶函数，且当x∈[0，1]时，g（x）=f（x）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程g（x）=m恰有四个不相等实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数f（x）的单调增区间，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：函数f（x）的单调减区间．
（2）当x∈[0，1]时，g（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，由题意，方程g（x）=m在x∈[0，1]上恰有2个不相等实数根，结合正弦函数的图象和性质即可得解m∈（$\frac{1}{2}$，1）．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$xcos$\frac{π}{2}$x+cos²$\frac{π}{2}$x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinπx+$\frac{1}{2}$cosπx
=sin（πx+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2k$-\frac{2}{3}$≤x≤2k$+\frac{1}{3}$，k∈Z，
可得函数f（x）的单调增区间为：[2k$-\frac{2}{3}$，2k$+\frac{1}{3}$]，k∈Z；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：2k$+\frac{1}{3}$≤x≤2k+$\frac{4}{3}$，k∈Z，
可得函数f（x）的单调减区间为：[2k$+\frac{1}{3}$，2k+$\frac{4}{3}$]，k∈Z；
（2）∵当x∈[0，1]时，g（x）=f（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∵g（x）是定义域为[-1，1]的偶函数，方程g（x）=m恰有四个不相等实数根，
∴由题意，方程g（x）=m在x∈[0，1]上恰有2个不相等实数根，
结合函数图象可知：m∈（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．