Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow{b}$=（3，-4tanα），α∈（0，$\frac{π}{2}$），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（1）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|；
（2）求$\frac{2sinαcosα}{sinα+cosα-1}$的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得12+5cosα•（-4tanα）=0，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求cosα，tanα的值，从而解得$\overrightarrow{a}$=（4，4），$\overrightarrow{b}$=（3，-3），可得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（7，1），即可计算得解|$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$|的值．
（2）由（1）及二倍角公式可得sin2α，即可计算求值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即12+5cosα•（-4tanα）=0，
解得sinα=$\frac{3}{5}$，
又α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{a}$=（4，4），$\overrightarrow{b}$=（3，-3），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（7，1），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=5$\sqrt{2}$．
（2）∵由（1）可得sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
∴$\frac{2sinαcosα}{sinα+cosα-1}$=$\frac{\frac{24}{25}}{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-1}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．