Question

9．已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=λ（λ＞0），不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线OM，MN，ON斜率依次构成等比数列．
（I）求k的值，
（II）若△MON的面积为m²+1，求λ的最小值．并求出此时实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为：y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12λ}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3λ）=0，由此根的判别式、韦达定理、等比数列可得k的值；
（2）求得判别式大于0的情况，运用点到直线的距离公式和弦长公式，运用三角形的面积公式，由条件解出λ=$\frac{2{m}^{2}}{3}$+$\frac{1}{2{m}^{2}}$+1，运用基本不等式即可得到最小值及对应的m的值．

解答 解：（1）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k＞0，m≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12λ}\end{array}\right.$，消去y并整理，得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3λ）=0，
则△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-3λ）=16（4λk²-m²+3λ）＞0，
此时设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3λ）}{3+4{k}^{2}}$，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，
∴-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
由m≠0得：k²=$\frac{3}{4}$，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（负的舍去）；
（2）由△＞0 得：λ＞$\frac{1}{6}$m²，
设原点O到直线l的距离为d，
则S_△OMN=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$|m|$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|m|•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-48λ}{3+4{k}^{2}}}$=m²+1，
由4k²=3，代入化简可得λ=$\frac{2{m}^{2}}{3}$+$\frac{1}{2{m}^{2}}$+1≥2$\sqrt{\frac{2{m}^{2}}{3}•\frac{1}{2{m}^{2}}}$+1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1．
当且仅当$\frac{2{m}^{2}}{3}$=$\frac{1}{2{m}^{2}}$，即m=±$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$时，λ的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1．

点评 本题考查椭圆方程的运用，考查三角形面积的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、等比数列、弦长公式、基本不等式等知识点的灵活运用．