Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤0}\\{{-x}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$，不等式f（ax²）+f（1-ax）＜0对任意的x∈R都成立，则实数a的取值范围（　　）

• A． （0，4）
• B． （-4，0）
• C． [0，4）
• D． [0，4]

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用图象法判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：作出f（x）的图象如图
则函数f（x）为奇函数，且为减函数，
则不等式f（ax²）+f（1-ax）＜0等价为f（ax²）＜-f（1-ax）=f（ax-1），
即ax²＞ax-1，
即ax²-ax+1＞0恒成立，
若a=0，则不等式等价为1＞0，不等式成立，
若a≠0，若ax²-ax+1＞0恒成立，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$，即0＜a＜4，
综上0≤a＜4，
故选：C．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用条件作出函数的图象，利用数形结合判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．