Question

已知圆过点，且圆心在直线上。

（I）求圆的方程；

（II）问是否存在满足以下两个条件的直线: ①斜率为；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（I）（II）存在，或

【解析】

试题分析：（I）用待定系数法求圆的方程，即先设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据已知条件列出方程组求出未知系数即可。（II）假设直线存在，其方程为，与圆的方程联立 消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到根与系数间的关系，因直线与圆由两个交点故此一元二次方程的判别式应大于0。以为直径的圆过原点即，可转化为直线垂直斜率乘积等于，也可转化为，还可转化为直角三角形勾股定理即，得到。即可得到关于的方程，若方程有解则假设成立，否则假设不成立。

试题解析：【解析】
(1)设圆C的方程为

则解得D= 6,E=4,F=4

所以圆C方程为 5分

（2）设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为A、B

则由得（＊）

∴ 7分

∴=因为AB为直径，所以，

得， 9分

∴，

即，，∴或 11分

容易验证或时方程（＊）有实根.

故存在这样的直线有两条，其方程是或. 12分

考点：圆的方程，直线和圆的位置关系，考查分析问题、解决问题的能力。