Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线的方程为y=8x-6．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（sinx）的最值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据切点既在切线上又在函数f（x）的图象上，建立一等式关系，再根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，建立另一关系式，解方程组即可求出a和b的值；
（II）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（III）设sinx=t，则问题可以转化为求函数f（t）（-1≤t≤1）的最值，再根据复合函数的单调性即可求出函数f（sinx）的最值．
解答：（Ⅰ）解：∵点P在切线上，
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①（2分）
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x²+2ax+b，
∴2a+b=5．②（4分）
解由①②组成的方程组，可得a=4，b=-3．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，可得；
令f'（x）＜0，可得．（7分）
∴函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（9分）
（Ⅲ）设sinx=t，则问题可以转化为求函数f（t）（-1≤t≤1）的最值，
由（Ⅱ）可知f（t）在上是减函数，在上是增函数．
∴f（t）的最小值为．（11分）
又f（-1）=6，f（1）=2，
∴f（t）的最大值为f（-1）=6．
∴函数f（sinx）的最小值为，最大值为6．（13分）
点评：本题是一综合题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，以及三角函数的应用．