Question

4．公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{S_n}$，证明对任意的n∈N^*，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2恒成立．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由题意可得：${S_1}{S_4}={S_2}^2$，即${a_1}（4{a_1}+6d）={（2{a_1}+d）^2}$，解出即可得出．
（2）（2）由（1）得${S_n}={n^2}$，可得${b_n}=\frac{1}{n^2}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n≥2）．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由题意可得：${S_1}{S_4}={S_2}^2$，即${a_1}（4{a_1}+6d）={（2{a_1}+d）^2}$，
∵a₁=1，d≠0，∴d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）由（1）得S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，∴${b_n}=\frac{1}{n^2}$．
当n=1时，b₁=1＜2成立；
当n≥2时，${b_n}=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{{n（{n-1}）}}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴b₁+b₂+…+b_n＜$1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}＜2$成立，
所以对任意的正整数n，不等式成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、放缩法、数列的单调性，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．