Question

14．求适合下列条件的标准方程：
（1）焦点在x轴上，与椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1具有相同的离心率且过点（2，-$\sqrt{3}$）的椭圆的标准方程；
（2）焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±$\frac{1}{3}$x的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）根据两个椭圆有相同的离心率，利用待定系数法进行求解即可．
（2）利用待定系数法，结合条件求出a，b的值即可得到结论．

解答 解：（1）∵焦点在x轴上，与椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1具有相同的离心率，
∴设对应的椭圆方程为$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=λ，（λ＞0），
∵椭圆过点（2，-$\sqrt{3}$），
∴λ=$\frac{4}{4}+\frac{3}{3}=1+1=2$，
即对应的椭圆方程为$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=2，
即$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．
（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，
∵顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±$\frac{1}{3}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=6\\ \frac{b}{a}=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$解得a=3，b=1．
则焦点在x轴上的双曲线的方程为$\frac{x^2}{9}-{y^2}=1$．

点评 本题主要考查椭圆和双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．