Question

已知函数f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2，f（x）的定义域为R，
f′（x）=e^-x-xe^-x+e^x-2+（x-2）e^x-2=（x-1）（e^x-2-e^-x）=e^-x（x-1）（e^x-1-1）（e^x-1+1）．
当x≥1时，x-1≥0，e^x-1-1≥0，所以f′（x）≥0，
当x＜1时，x-1＜0，e^x-1-1＜0，所以f′（x）≥0，
所以对任意实数x，f′（x）≥0，
所以f（x）在R上是增函数；  
（II）当x≥1时，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，即（x-2）e^2x-a-x²+3x-1≥0恒成立，
设h（x）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1（x≥1），则h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1），
令h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1）=0，解得x1=

3

2

，x2=

a

2

，
（1）当1＜

a

2

＜

3

2

，即2＜a＜3时，

x	（1， a 2 ）	a 2	（ a 2 ， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以要使结论成立，则h（1）=-e^2-a+1≥0，h（

3

2

）=-

1

2

e^3-a+

5

4

≥0，即e^2-a≤1，e^3-a≤

5

2

，
解得a≥2，a≥3-ln

5

2

，所以3-ln

5

2

≤a＜3；
（2）当

a

2

=

3

2

，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=-e^-1+1＞0，
故结论成立；                              
（3）当

a

2

＞

3

2

，即a＞3时，

x	（1， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ， a 2 ）	a 2	（ a 2 ，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以要使结论成立，
则h（1）=-e^2-a+1≥0，h（

a

2

）=-

a2

4

+2a-3≥0，即e^2-a≤1，a²-8a+12≤0，
解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；                              
综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，实数a的取值范围是3-ln

5

2

≤a≤6．                                                    …（12分）