Question

20．已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a（a为常数）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值是20，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）出导数，令导数小于0，解不等式求出函数的单调区间
（2）先求出端点的函数值f（-2）与f（2），比较f（2）与f（-2）的大小，然后根据函数f（x）在[-1，2]上单调递增，在[-2，-1]上单调递减，得到f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（2）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，∴f′（x）=-3x²+6x+9≥0，得x²-2x-3≤0，-1≤x≤3，列表如下；

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2
f′（x）		-	0	+
f（x）	a-14	递减	a-5	递增	a+ 22

∴f（x）_最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=-2，∴f（x）_最小值=f（-1）=a-5=-7
故函数的最小值是-7．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，属于中档题．