Question

8．已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）当a=1时，求函数f（x）在x∈[-4，0]上的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令2^x=t，得出关于t的函数g（t）=2t²-2t-1，根据二次函数的性质得出g（t）的值域即可f（x）的值域；
（2）分离参数a可得a=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，再用换元法得出右侧函数的值域，从而得出a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2•4^x-2^x-1=2（2^x）²-2^x-1，
令t=2^x，由x∈[-4，0]，得t∈[$\frac{1}{16}$，1]．
设g（t）=2t²-t-1=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，t∈[$\frac{1}{16}$，1]，
∴y=g（t）在$[\frac{1}{16}，\frac{1}{4}]$单调递减，在$[\frac{1}{4}，1]$单调递增，
∴当t=$\frac{1}{4}$时，g（t）取得最小值g（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{9}{8}$，
当t=1时，g（t）取得最大值g（1）=0，
∴f（x）在[-4，0]上的值域为[-$\frac{9}{8}$，0]．
（2）法一：关于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有实数解，设2^x=m＞0，
等价于方程2am²-m-1=0在m∈（0，+∞）上有解．
记g（m）=2am²-m-1，
当a=0时，解为m=-1＜0，不成立．
当a＜0时，开口向下，对称轴m=$\frac{1}{4a}$＜0，
过点（0，-1），不成立．
当a＞0时，开口向上，对称轴m=$\frac{1}{4a}$＞0，
过点（0，-1），必有一个根为正，所以a＞0．
∴实数a的取值范围为a＞0．
法二：关于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有实数解，
∴a=$\frac{{2}^{x}+1}{2•{4}^{x}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{{4}^{x}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
令$t=\frac{1}{2^x}$，t＞0，则$a=\frac{1}{2}（t+{t^2}）=\frac{1}{2}{（t+\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{8}$在（0，+∞）单调递增，
∴实数a的取值范围为a＞0．

点评 本题考查了换元法与函数值域的计算，属于中档题．