Question

【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:

年级名次/是否近视	1-50	951-1000
近视	41	32
不近视	9	18

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;

（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列见解析，．

【解析】

试题（Ⅰ）先利用可得第一、二组的频率，由已知条件可得第三、六组的频率，进而可得视力在5.0以下的频率，再利用可得全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）先算出的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率即可得的分布列，进而利用数学期望公式即可得数学期望．

试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为，

依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故

，，1分

所以由得， 2分

所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， 3分

故全年级视力在5.0以下的人数约为4分

（Ⅱ）6分

因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 7分

（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， 8分

可取0,1,2,3

，

，

，

X的分布列为

X	0	1	2	3
P

X的数学期望12分