Question

【题目】已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点在直线上且不在轴上，直线与椭圆的交点分别为和，为坐标原点.

设直线的斜率为，证明：

问直线上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设出P的坐标，表示出斜率，化简可得结论；

（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，求出斜率，利用kOA+kOB+kOC+kOD＝0，即可得到结论．

因为椭圆方程为，所以F1（﹣1，0）、F2（1，0）

设P（x0，2﹣x0），则，，

所以

（2）记A、B、C、D坐标分别为（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．

设直线PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1

联立可得

，

代入，可得

同理，联立PF2和椭圆方程，可得

由及m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得，或，

所以直线方程为或，

所以点P的坐标为（0，2）或