【题目】已知函数.
(Ⅰ)若关于的不等式
在
上恒成立,求
的取值范围;
(Ⅱ)设函数,在(Ⅰ)的条件下,试判断
在
上是否存在极值.若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当
时,
在
上不存在极值;当
时,
在
上存在极值,且极值均为正.
【解析】试题分析:(1)不等式恒成立问题,一般先利用变量分离转化为对应函数最值问题: 的最大值,利用导数研究函数
最值,易得
在
上单调递减,所以
,因此
,(2)即研究
导函数的零点情况,先求导数,确定研究对象为
,再求目标函数导数,确定单调性:先增后减,两个端点值都小于零,讨论最大值是否大于零,最后结合零点存在定理确定极值点个数.
试题解析:解:(Ⅰ)由,得
.
即在
上恒成立.
设函数,
.
则.
∵,∴
.
∴当时,
.
∴在
上单调递减.
∴当时,
.
∴,即
的取值范围是
.
(Ⅱ),
.
∴.
设,则
.
由,得
.
当时,
;当
时,
.
∴在
上单调递增,在
上单调递减.
且,
,
.
据(Ⅰ),可知.
(ⅰ)当,即
时,
即
.
∴在
上单调递减.
∴当时,
在
上不存在极值.
(ⅱ)当,即
时,
则必定,使得
,且
.
当变化时,
,
,
的变化情况如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
∴当时,
在
上的极值为
,且
.
∵.
设,其中
,
.
∵,∴
在
上单调递增,
,当且仅当
时取等号.
∵,∴
.
∴当时,
在
上的极值
.
综上所述:当时,
在
上不存在极值;当
时,
在
上存在极值,且极值均为正.
注:也可由,得
.令
后再研究
在
上的极值问题.
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【题目】已知公差大于零的等差数列的前
项和为
,且
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是等差数列,且
,求非零常数
的值.
(3)设,
为数列
的前
项和,是否存在正整数
,使得
对任意的
均成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)判断直线与曲线
的位置关系,并说明理由;
(2)若直线和曲线
相交于
两点,且
,求直线
的斜率.
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【题目】某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份).现从回收的年龄在岁的问卷中随机抽取了
份, 统计结果如下面的图表所示.
(1)分别求出的值;
(2)从年龄在答对全卷的人中随机抽取
人授予“环保之星”,求年龄在
的人中至少有
人被授予“环保之星”的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的方程为
,在以原点为极点,
轴的非负关轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)将上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的2倍和
倍后得到曲线
,求曲线
的参数方程;
(2)若分别为曲线
与直线
的两个动点,求
的最小值以及此时点
的坐标.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,直线的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线
过点
,且与曲线
交于
两点,试求
.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?
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