【题目】已知点在同一个球的上,,,.若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
根据几何体的特征,小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,可得DQ与面ABC垂直时体积最大,从而求出球的半径,即可求出球的表面积.
根据题意知,A、B、C三点均在球心O的表面上,
且,,,由余弦定理可得BC,
∴△ABC为直角三角形,
∴△ABC外接圆直径,即,
且,
的中点即为小圆的圆心设为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,
所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×DQ,
∴,
设球的半径为R,则
在直角△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即
∴,
∴球的表面积为,
故答案为:.
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【题目】若数列满足“对任意正整数,都存在正整数,使得”,则称数列具有“性质”.已知数列为无穷数列.
(1)若为等比数列,且,判断数列是否具有“性质”,并说明理由;
(2)若为等差数列,且公差,求证:数列不具有“性质”;
(3)若等差数列具有“性质”,且,求数列的通项公式.
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【题目】已知为抛物线的焦点,为的准线与轴的交点,点在抛物线上,设,,,有以下个结论:
①的最大值是;②;③存在点,满足.
其中正确结论的序号是______.
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【题目】人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.年第六次全国人口普查资料表明,随着我国社会经济的快速发展,人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善,我国人口平均预期寿命继续延长,国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况,依据此图,下列结论错误的是( )
A.男性的平均预期寿命逐渐延长
B.女性的平均预期寿命逐渐延长
C.男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D.女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).设直线与的交点为,当变化时的点的轨迹为曲线.
(1)求出曲线的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设射线的极坐标方程为且,点是射线与曲线的交点,求点的极径.
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【题目】在四面体ABCD中,△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形,已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上,且AD是该球的直径,则四面体ABCD的体积为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知函数f(x)=axex,g(x)=x2+2x+b,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)都过点P(1,c).且在点P处有相同的切线l.
(Ⅰ)求切线l的方程;
(Ⅱ)若关于x的不等式k[ef(x)]≥g(x)对任意x∈[﹣1,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知点,点在轴上,点在轴上,且.当点在轴上运动时,点的轨迹记为曲.
(Ⅰ)求曲线的轨迹方程;
(Ⅱ)过曲线上一点,作圆的切线,交曲线于两点,若直线垂直于直线,求的面积.
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