Question

【题目】若数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.已知数列为无穷数列.

（1）若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由；

（2）若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”；

（3）若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）数列具有“性质”.见解析（2）见解析（3）

【解析】

（1）由题可知，为等比数列，且，设数列的公比为，则，，根据条件整理得出，所以数列具有“性质”；

（2）由于为等差数列，且公差，则，分类讨论和时，都得出不存在正整数，使得，则当时，数列不具有“性质”；

（3）已知等差数列具有“性质”，且，设数列的公差为，则，且对任意，都存在正整数，使得，结合条件可求出或，即可求出数列的通项公式.

（1）解：数列具有“性质”.

由题可知，为等比数列，且，

设数列的公比为，则，，

对任意正整数，，，

因为，所以，则，

即对任意正整数，，存在，使得，

所以数列具有“性质”.

（2）证明：由于为等差数列，且公差，

则，

①若，则，，

所以不存在正整数，使得.

②若，则当时，

，，

所以不存在正整数，使得；

综上，当时，数列不具有“性质”.

（3） 解：已知等差数列具有“性质”，且，

设数列的公差为，则，

由已知，对任意，都存在正整数，使得，

即，

所以，且 ①

对任意，设，

，，

所以，得，

因此 ②

由（2）知，

又由①、②可得或，

当时，，，不满足要求，

所以，，

可以验证满足要求.