Question

【题目】已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知动直线过点，交抛物线于，两点，坐标原点为的中点，求证；

（3）在（2）的条件下，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）存在；直线

【解析】

（1）根据椭圆焦点坐标可求得的值，从而求得抛物线的方程；

（2）设出点的坐标，并求得点的坐标，当直线的斜率不存在时利用抛物线的对称性可使问题得证，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立抛物线的方程，从而利用韦达定理与斜率公式可使问题得证；

（3）首先设直线满足题意，由此得到圆心的坐标，然后过点作直线的垂线，垂足为，设直线与圆的一个交点为，从而根据求出的值，使问题得解.

解：（1）设抛物线的方程为

由题意可知，抛物线的焦点为

∴

∴抛物线的方程为.

（2）证明：设，

由为的中点，得点的坐标为

当垂直于轴时，由抛物线的对称性知；

当不垂直于轴时，设

由，

∴

∵，，

∴

∴.

（3）设存在直线满足题意

由（2）知圆心，过作直线的垂线，垂足为，则

设直线与圆的一个交点为，连接，则

即

.

当时，，

此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值，因此存在直线满足题意.