Question

【题目】已知数列{an}满足．

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）对任意正整数n，an小数点后第一位数字是多少？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，n∈N*时，an小数点后第一位数字均为6．见解析

【解析】

（1）因为数列{an}满足，令n=1，n=2，n=3，分别求解.

（2）根据a1，a2小数点后第一位数字均为5，a3小数点后第一位数字为6，猜想对任意正整数n（n≥3），均有0.6＜an＜0.7，根据，所以对任意正整数n（n≥3），有an≥a3＞0.6，只要证明：对任意正整数n（n≥3），有即可.采用数学归纳法证明.

（1）a1，a2；a3，

可得，，；

（2）a1，a2小数点后第一位数字均为5，a3小数点后第一位数字为6，

下证：对任意正整数n（n≥3），均有0.6＜an＜0.7，

注意到，

故对任意正整数n（n≥3），有an≥a3＞0.6，

下用数学归纳法证明：对任意正整数n（n≥3），有

①当n＝3时，有，命题成立；

②假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，命题成立，即

则当n＝k+1时，

∵

∴∴

∴n＝k+1时，命题也成立；

综合①②，任意正整数n（n≥3），．

由此，对正整数n（n≥3），0.6＜an＜0.7，此时an小数点后第一位数字均为6．

所以a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，n∈N*时，an小数点后第一位数字均为6．