【题目】已知,,有如下结论:
①有两个极值点;
②有个零点;
③的所有零点之和等于零.
则正确结论的个数是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
利用导数分析函数的单调性,结合零点存在定理可判断命题①的正误;利用导数分析函数的单调性,结合零点存在定理可判断命题②的正误;由得出,设,由推导出,由此可判断出命题③的正误.综合可得出结论.
,则,.
当时,,此时函数单调递减;
当时,,此时函数单调递增.
所以,函数的最小值为.
,.
令,当时,,则函数在上单调递增,
则,所以,当时,.
,,
由零点存在定理可知,函数在和上各有一个零点,
所以,函数有两个极值点,命题①正确;
设函数的极大值点为,极小值点为,则,
则,所以,
函数的极大值为,
构造函数,则,
所以,函数在上单调递减,
当时,;当时,.
,,,则,即.
同理可知,函数的极小值为.
,.
由零点存在定理可知,函数在区间、、上各存在一个零点,
所以,函数有个零点,命题②正确;
令,得,,则,
令,则,
所以,函数所有零点之和等于零,命题③正确.
故选:D.
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【题目】已知是轴上的动点(异于原点),点在圆上,且.设线段的中点为,当点移动时,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)当直线与圆相切于点,且点在第一象限.
(ⅰ)求直线的斜率;
(ⅱ)直线平行,交曲线于不同的两点、.线段的中点为,直线与曲线交于两点、,证明:.
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【题目】函数f(x)=(sinx+cosx)2cos(2x+π).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且a=2,求△ABC的面积.
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【题目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图,在正六棱柱的三个顶点处分别用平面,平面,平面截掉三个相等的三棱锥,,,平面,平面,平面交于点,就形成了蜂巢的结构,如下图(4)所示,
瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为,即.以下三个结论①;② ;③四点共面,正确命题的个数为______个;若,,,则此蜂巢的表面积为_______.
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,底面ABCD,,E是侧棱的中点.
(1)求异面直线AE与PD所成的角;
(2)求点B到平面ECD的距离
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