【题目】已知是
轴上的动点(异于原点
),点
在圆
上,且
.设线段
的中点为
,当点
移动时,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)当直线与圆
相切于点
,且点
在第一象限.
(ⅰ)求直线的斜率;
(ⅱ)直线平行
,交曲线
于不同的两点
、
.线段
的中点为
,直线
与曲线
交于两点
、
,证明:
.
【答案】(1);(2)(ⅰ)
;(ⅱ)证明见解析.
【解析】
(1)连接,设
,求出点
的坐标,然后将点
的坐标代入圆
的方程,化简后可得出曲线
的方程;
(2)(i)由题意可得出,再由
可判断出
为等腰直角三角形,可求出点
、
的坐标,并求出点
的坐标,由此可求出直线
的斜率;
(ii)设,
,直线
,将直线
的方程与曲线
的方程联立,列出韦达定理,求出点
的坐标,进而可求得直线
的方程,由此可求得点
、
的坐标,再利用弦长公式化简可证得结论成立.
(1)连接,设
,由
,可得
,
由为
的中点,则
,
,
,
,则
,
把代入
,整理得
,
所以曲线的方程为
;
(2)(ⅰ)当直线与圆
相切于点
,则
,
,则
,所以,
是等腰直角三角形,且
,
又点在第一象限,得
,
.
由为
的中点,得
,所以直线
的斜率为
;
(ⅱ)设,
,直线
,
由,整理得
,
由韦达定理得,
.
所以点坐标为
,则直线
方程为
.
由方程组,得
,
,
所以.
又,
所以.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设P(0,-1),直线l与C的交点为M,N,线段MN的中点为Q,求.
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【题目】已知正项数列中,
,点
在抛物线
上.数列
中,点
在经过点
,以
为方向向量的直线
上.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)若,问是否存在
,使得
成立?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(3)对任意的正整数,不等式
成立,求正数
的取值范围.
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【题目】将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起,顶点B移动至处,在以点B',A,C,为顶点的四面体AB'CD中,棱AC、B'D的中点分别为E、F,若AC=6,且四面体AB'CD的外接球球心落在四面体内部,则线段EF长度的取值范围为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,有一种赛车跑道类似“梨形”曲线,由圆弧和线段AB,CD四部分组成,在极坐标系Ox中,A(2,
),B(1,
),C(1,
),D(2,
),弧
所在圆的圆心分别是(0,0),(2,0),曲线M1是弧
,曲线M2是弧
.
(1)分别写出M1,M2的极坐标方程:
(2)点E,F位于曲线M2上,且,求△EOF面积的取值范围.
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【题目】新型冠状病毒最近在全国蔓延,具有很强的人与人之间的传染性,该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间.假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有位密切接触者,接触病毒携带者后被感染的概率为
,每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者.
(1)求一位病毒携带者一天内感染的人数的均值;
(2)若,
时,从被感染的第一天算起,试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内,被他平均累计感染的人数(用数字作答);
(3)3月16日20时18分,由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队,研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态,新疫苗的使用,可以极大减少感染新型冠状病毒的人数,为保证安全性和有效性,某科研团队抽取500支新冠疫苗,观测其中某项质量指标值,得到如下频率分布直方图:
①求这500支该项质量指标值的样本平均值(同一组的数据用该组区代表间的中点值)
②由直方图可以认为,新冠疫苗的该项质量指标值服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
,经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差
.现有5名志愿者参与临床试验,观测得出该项指标值分别为:206,178,195,160,229,试问新冠疫苗的该项指标值是否正常,为什么?
参考数据:,若
,则
,
,
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【题目】某商场为提高服务质量,随机调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客均对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面不完整的列联表:
满意 | 不满意 | 合计 | |
男顾客 | 50 | ||
女顾客 | 50 | ||
合计 |
(1)根据已知条件将列联表补充完整;
(2)能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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