【题目】新型冠状病毒最近在全国蔓延,具有很强的人与人之间的传染性,该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间.假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有位密切接触者,接触病毒携带者后被感染的概率为
,每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者.
(1)求一位病毒携带者一天内感染的人数的均值;
(2)若,
时,从被感染的第一天算起,试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内,被他平均累计感染的人数(用数字作答);
(3)3月16日20时18分,由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队,研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态,新疫苗的使用,可以极大减少感染新型冠状病毒的人数,为保证安全性和有效性,某科研团队抽取500支新冠疫苗,观测其中某项质量指标值,得到如下频率分布直方图:
①求这500支该项质量指标值的样本平均值(同一组的数据用该组区代表间的中点值)
②由直方图可以认为,新冠疫苗的该项质量指标值服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
,经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差
.现有5名志愿者参与临床试验,观测得出该项指标值分别为:206,178,195,160,229,试问新冠疫苗的该项指标值是否正常,为什么?
参考数据:,若
,则
,
,
【答案】(1),(2)8192,(3)①200,②新冠肺炎的该项指标值不正常,详见解析.
【解析】
(1)由题意可得,即可算出答案;
(2) 记前天平均累计感染的人数为
,由题意可得
,
(
为正整数),然后得出
即可;
(3) ①根据频率分布直方图中的数据计算即可,
②由条件可得,然后根据
原则可得出结论.
(1)依题意可知,
,所以一天内被感染人数
的均值为
(2)记前天平均累计感染的人数为
,
则由题意可得,
,
(
为正整数)
所以
当,
时,一位病毒携带者在14天潜伏期内,被他平均累计感染的人数为
(3)①由频率分布直方图得,这500支该项指标值的样本平均值为
②新冠肺炎该项指标值不正常,理由如下:
由题意知,
,
即该项指标落在之外的概率为
,是小概率事件.
而,根据
原则,新冠肺炎的该项指标值不正常
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【题目】如图,圆台的轴截面为等腰梯形
,
,
,
,圆台
的侧面积为
.若点C,D分别为圆
,
上的动点且点C,D在平面
的同侧.
(1)求证:;
(2)若,则当三棱锥
的体积取最大值时,求多面体
的体积.
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【题目】已知是
轴上的动点(异于原点
),点
在圆
上,且
.设线段
的中点为
,当点
移动时,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)当直线与圆
相切于点
,且点
在第一象限.
(ⅰ)求直线的斜率;
(ⅱ)直线平行
,交曲线
于不同的两点
、
.线段
的中点为
,直线
与曲线
交于两点
、
,证明:
.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).设直线
与
的交点为
,当
变化时的点
的轨迹为曲线
.
(1)求出曲线的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设射线
的极坐标方程为
且
,点
是射线
与曲线
的交点,求点
的极径.
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【题目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图,在正六棱柱的三个顶点
处分别用平面
,平面
,平面
截掉三个相等的三棱锥
,
,
,平面
,平面
,平面
交于点
,就形成了蜂巢的结构,如下图(4)所示,
瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为,即
.以下三个结论①
;②
;③
四点共面,正确命题的个数为______个;若
,
,
,则此蜂巢的表面积为_______.
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【题目】如图,平面α∩平面β=l,A,C是α内不同的两点,B,D是β内不同的两点,且A,B,C,D直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列判断正确的是( )
A.若ABCD,则MN
l
B.若M,N重合,则ACl
C.若AB与CD相交,且ACl,则BD可以与l相交
D.若AB与CD是异面直线,则MN不可能与l平行
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【题目】区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后,下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器,将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式,2015年至2019年五年期间,中国的区块链企业数量逐年增长,居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据,如表
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
企业总数量y(单位:千个) | 2.156 | 3.727 | 8.305 | 24.279 | 36.224 |
注:参考数据(其中z=lny).
附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘法估计公式为
(1)根据表中数据判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.71828…,为自然对数的底数),哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的结果,求y关于x的回归方程(结果精确到小数点后第三位);
(3)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个公司首先获胜两场,则本次比赛结束,该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”,已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为
,乙胜丙的概率为
,请通过计算说明,哪两个公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率最大?
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,
,
,
,
,
,
.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设Q为线段PD上的点,且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为,求
的值.
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