Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．

（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（3）设为线段上的点，，，，，，求出，由平面的法向量，且直线和平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．

解：（1）证明：∵在四棱锥中，平面ABCD，

，，，，，.

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，

∴，∴.

（2）解：，，，

设平面APC的法向量，

则，

取，得，

平面PCD的法向量，

设二面角的平面角为，

则.

∴二面角的余弦值为.

（3）解：设Q为线段PD上的点，，

，

则，

解得，，，

∴，，

∵平面PAC的法向量，

且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，

∴，

解得或（舍），

∴.