Question

【题目】已知函数.（为自然对数的底数）

（1）当时，设，求函数在上的最值；

（2）当时，证明：，其中（表示中较小的数.）

Answer 1

【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意知，令其导数为0，解得，从而可探究在的单调性，可直接确定其最小值，通过作差法可比较，的大小，从而可求最大值.

（2）分成，两种情况，通过对所证不等式进行变形.第一种情况下等价于证明，设，通过导数法可证明在上单调递增，由 ，所以；第二种情况下等价于证明，由（1）知，，及，，所以，设，通过导数可证明在上单调递增，由，所以，从而可证明.

解：（1）当时，，，则，

令，得，当时，；当时，.

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

从而在上的最小值为.因为，，

，

所以，从而在上的最大值为.

（2）①当，即时，.

设，则.

令，则，

因为，所以，因为，所以，

当且仅当且时，等号成立.从而在上单调递增.

注意到，所以，从而在上单调递增.

注意到，所以，原不等式成立.

②当，即时，.

，

由（1）知，，及，，所以.

设，，则，

所以在上单调递增.注意到，所以，原不等式成立.

综上，当时，，.