Question

【题目】平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到点的距离比它到直线的距离小2.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设斜率为2的直线与曲线交于、两点（点在第一象限），过点作轴的平行线，问在坐标平面中是否存在定点，使直线交直线于点，且恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）根据定义可知动点的轨迹为抛物线，且，所以方程为；

（2）假设存在点满足题意，由知，设斜率为2的直线方程为，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及斜率公式可得结果.

（1）设，动点到点的距离比到直线的距离小2，

即是动点到点的距离等于到直线的距离，

由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线，且，

所以，所以其标准方程为.

（2）假设存在点满足题意，

设斜率为2的直线方程为，

设，

由知，

由，

整理得

所以

所以.

即，

整理得，

∴存在满足题意.