【题目】如图,圆台的轴截面为等腰梯形
,
,
,
,圆台
的侧面积为
.若点C,D分别为圆
,
上的动点且点C,D在平面
的同侧.
(1)求证:;
(2)若,则当三棱锥
的体积取最大值时,求多面体
的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由圆台侧面积求出上下底半径,计算圆台的高,计算,由直角三角形性质得
;
(2)三棱锥的高就是
,表示出三棱锥
的体积,求出最大值时
,
,多面体
分为三棱锥
和四棱锥
,分别计算体积后相加即得.
解:(1)设,
的半径分别为
,
,
因为圆台的侧面积为,
所以,可得
.
因此,在等腰梯形中,
,
,
.
如图,连接线段,
,
,
在圆台中,
平面
,
平面
,
所以.
又,所以在
中,
.
在中,
,故
,即
.
(2)由题意可知,三棱锥的体积为
,
又在直角三角形中,
,
所以当且仅当,
即点D为弧的中点时,
有最大值
.
过点C作交
于点M,
因为平面
,
平面
,
所以,
平面
,
平面
,
,
所以平面
.
又,则点C到平面
的距离
,
所以四棱锥的体积
.
综上,当三棱锥体积最大值时,
多面体
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【题目】如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平
B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格
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【题目】培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质,已知向水中每投放1个单位的物质
,
(单位:天)时刻后水中含有物质
的量增加
,
与
的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为
.根据经验,当水中含有物质
的量不低
时,物质
才能有效发挥作用.
(1)若在水中首次投放1个单位的物质,计算物质
能持续有效发挥作用几天?
(2)若在水中首次投放1个单位的物质,第8天再投放1个单位的物质
,试判断第8天至第12天,水中所含物质
的量是否始终不超过
,并说明理由.
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【题目】某学校开设了射击选修课,规定向、
两个靶进行射击:先向
靶射击一次,命中得1分,没有命中得0分,向
靶连续射击两次,每命中一次得2分,没命中得0分;小明同学经训练可知:向
靶射击,命中的概率为
,向
靶射击,命中的概率为
,假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.
(1)求小明同学恰好命中一次的概率;
(2)求小明同学获得总分的分布列及数学期望
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设P(0,-1),直线l与C的交点为M,N,线段MN的中点为Q,求.
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【题目】已知正项数列中,
,点
在抛物线
上.数列
中,点
在经过点
,以
为方向向量的直线
上.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)若,问是否存在
,使得
成立?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(3)对任意的正整数,不等式
成立,求正数
的取值范围.
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【题目】新型冠状病毒最近在全国蔓延,具有很强的人与人之间的传染性,该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间.假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有位密切接触者,接触病毒携带者后被感染的概率为
,每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者.
(1)求一位病毒携带者一天内感染的人数的均值;
(2)若,
时,从被感染的第一天算起,试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内,被他平均累计感染的人数(用数字作答);
(3)3月16日20时18分,由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队,研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态,新疫苗的使用,可以极大减少感染新型冠状病毒的人数,为保证安全性和有效性,某科研团队抽取500支新冠疫苗,观测其中某项质量指标值,得到如下频率分布直方图:
①求这500支该项质量指标值的样本平均值(同一组的数据用该组区代表间的中点值)
②由直方图可以认为,新冠疫苗的该项质量指标值服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
,经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差
.现有5名志愿者参与临床试验,观测得出该项指标值分别为:206,178,195,160,229,试问新冠疫苗的该项指标值是否正常,为什么?
参考数据:,若
,则
,
,
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