Question

【题目】培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质，已知向水中每投放1个单位的物质，（单位：天）时刻后水中含有物质的量增加，与的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为.根据经验，当水中含有物质的量不低时，物质才能有效发挥作用.

（1）若在水中首次投放1个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用几天？

（2）若在水中首次投放1个单位的物质，第8天再投放1个单位的物质，试判断第8天至第12天，水中所含物质的量是否始终不超过，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质的量始终不超过.见解析

【解析】

（1）由题可知，分类讨论求解满足时的的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质，物质能持续有效发挥作用的天数；

（2）根据已知求出函数解析式，利用基本不等式即可求得当时，，从而得出结论.

解：（1）由题意，(单位：天)时刻后水中含有物质的量为：

，

由于当水中含有物质的量不低时，物质才能有效发挥作用，

即需，

则当时，且当时，，

解得：，

所以若在水中首次投放1个单位的物质，物质能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.

（2）设第天水中所含物质的量为，

则，

，

当且仅当，即时，等号成立，

即当时，，

所以第8天至第12天，水中所含物质的量始终不超过.