Question

【题目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图，在正六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，，，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构，如下图（4）所示，

瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为，即.以下三个结论①；② ；③四点共面，正确命题的个数为______个；若，，，则此蜂巢的表面积为_______.

Answer 1

【答案】2

【解析】

根据正六棱柱底面正六边形的性质可判断出边之间的大小关系及平行关系；根据已知条件求出表面各边的长度，蜂巢的表面积即由6个梯形和3个菱形组成，分别求出梯形和菱形的面积代入即可.

由题可得：，

六边形是正六边形，

所以，即有，

所以①错误；

用平面，平面，平面截掉

三个相等的三棱锥，，，

所以平面与底面平行，

所以有：、、,

在正六边形中，

所以；②正确；

因为，

所以，即四点共面，③正确；

因此正确个数有2个；

连接，，如图：

由题意可得：且，

因为，，

所以，

即有，

四边形为菱形，

所以在中可求出，

，

所以，

，

所以蜂巢的表面积为

故答案为：