Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.

（1）证明：AC⊥PD；

（2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）过A作AF⊥DC于F，推导出AC⊥DA，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD．

（2）由VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，能求出三棱锥P﹣ACE的体积．

（1）过A作AF⊥DC于F，

因为AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以CF＝DF＝AF＝1，

所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA，

又PA⊥底面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥PA，

又PA，AD平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD，

又PD平面PAD，∴AC⊥PD.

（2）由PE＝2BE，可得VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，

所以，，

所以三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC.