Question

【题目】已知正项数列中，，点在抛物线上.数列中，点在经过点，以为方向向量的直线上.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）对任意的正整数，不等式成立，求正数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，；（3）

【解析】

（1）将坐标代入抛物线方程得数列是等差数列，从而得通项公式，求出直线方程后可得；

（2）分类讨论，按的奇偶性分类讨论即可求解；

（3）不等式可变形为，然后设，　利用确定的单调性得其最小值，即得的取值范围．

（1）将点代入抛物线得：

数列是等差数列.

，即

为直线的方向向量直线的斜率，直线的方程为

在直线上.

（2）由题

①当是偶数时，是奇数，即，

②当是奇数时，是偶数，即（舍去）.

故存在唯一的符合条件.

（3）由题，即

设，

则

，即数列是递增数列.