Question

【题目】已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）见解析.

【解析】

（1）利用递推公式直接代入求值.

（2）分类讨论当为奇数和偶数的情况，再讨论为奇数和偶数的情况，求得的值.

（3）先证充分性（易证得），再证必要性，用数学归纳法证明.

解：（1），，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故．

（2）由题设是整数．

①若为奇数,可设，,则是偶数，得，

则，此时，符合题意

②若为偶数,可设，,则，

当是偶数时，可设，得，，

则，此时不存在．

当是奇数时，可设，得，，

，则，得 ，得．

综合①②可得，或．

（3）充分性：若为奇数，则；

必要性：先利用数学归纳法证：（为奇数）；（为偶数）．

①，，成立；

②假设时，（为奇数）；（为偶数）．

③当时，当是偶数，；当是奇数，，此时是偶数．

综上，由数学归纳法得（为奇数）；（为偶数）．

从而若时，必有是偶数．进而若是偶数，则矛盾，故只能为奇数．