Question

【题目】将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至处，在以点B'，A，C，为顶点的四面体AB'CD中，棱AC、B'D的中点分别为E、F，若AC＝6，且四面体AB'CD的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由题意画出图形，可证AC⊥平面B′ED，得到球心O位于平面B′ED与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合OA＝OB′，OE＜EF，EF＜EB′＝4可得线段EF长度的取值范围．

如图所示：

由已知可得，AC⊥B′E，且AC⊥DE，

∴AC⊥平面B′ED，

∵E是AC的中点，

∴到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，

同理可知，到点B′、D的距离相等的点位于平面ACF内，

∵球心O到点A，B′，C，D的距离相等，

∴球心O位于平面B′ED与平面ACF的交线上，即直线EF上．

∴球心O落在线段EF上（不含端点E、F），

显然EF⊥B′D，由题意EA＝3，EB′＝4，则OA2＝OE2+9，

且OB′2＝OF2+FB′2＝OF2+EB′2﹣EF2＝（EF﹣OE）2+16﹣EF2＝OE2+16﹣2EFOE．

∵OA＝OB′，

∴OE2+9＝OE2+16﹣2EFOE，则，

显然OE＜EF，

∴EF，即EF．

又EF＜EB′＝4，∴EF＜4．

故选：B．