Question

【题目】已知椭圆的离心率，直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，求直线在轴上的截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）且

【解析】

（1）根据直线与圆相切和离心率可构造方程求得，进而得到椭圆标准方程；

（2）设，，与椭圆方程联立后，利用求得的范围，并得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出点坐标，从而得到方程；令可求得在轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.

（1）直线与圆相切，，解得：，

又，，

椭圆的方程为：；

（2）由题意知：直线的斜率存在且不为零，

设，，，，中点，

联立消去并整理得：，

由得：或

则，，，

，

则方程为：，即，

化简得：

令得：（或），，

当时，；当时，；

且，

综上所述：直线在轴上的截距的取值范围为且.