Question

【题目】已知函数（）的图象上的动点到原点的距离的平方的最小值为.

（1）求的值；

（2）设，若函数有两个极值点、，且，证明：.（参考公式：）

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）设，表示出，又代入消元，结合基本不等式求出的最小值，列方程得出的值；

（2）由题知，、是方程的两个均大于－1且不为0的不相等的实根，可由韦达定理或图象法求得，进而判断出且，又由，构造新函数，利用导数求出在区间的值域即证得.

解：（1）设在函数的图象上，

则

即，所以

（2）证明：易得，（且）

所以（且）

令，因为其对称轴为直线

由题意知、是方程的两个均大于－1且不为0的不相等的实根，

所以由，得

（法二：因为，，∴，所以，

即，即，又，所以）

因为，∴

又为方程的根，所以

∴

设，

则

因为时，，∴在上单调递增；

∴当时，且

故