Question

【题目】四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；

（Ⅱ）连结，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出底面，这样可以建立以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.

（Ⅰ）

四边形是平行四边形

.

又，.

又面面，面面，

面

面

且面

平面平面.

（Ⅱ）连结，，为中点，

又平面，平面平面，

平面平面，

底面，

又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，

，，

，

设平面的法向量，

，令，

，.

设二面角的平面角为

又为钝角，，即二面角的余弦值为.