【题目】过抛物线y2=4x焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且|AB|=4,若原点O是△ABC的垂心,则点C的坐标为_____.
【答案】
【解析】
由题意设直线AB的方程,与抛物线联立求出两根之和,由抛物线的性质可得弦长|AB|的表达式,再由题意可得参数的值,进而求出直线的方程,代入抛物线的方程求出A,B的坐标,由O为三角形ABC的垂心可得C在x轴上,设C的坐标,由OA⊥BC,可得数量积为0,求出C点的坐标.
解:显然直线AB的斜率不为0,
由题意设直线AB的方程为:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线AB与抛物线的方程,
整理可得y2﹣4my﹣4=0,y1+y2=4m,所以x1+x2=4m2+2,
由抛物线的性质可得|AB|=x1+x2+2=4m2+4,
由题意可得4m2+4=4,所以m=0,即直线AB垂直于x轴,
所以可得A(1,2),B(1,﹣2),
因为原点O是△ABC的垂心,所以C在x轴上,设C(a,0),可得AO⊥BC,即0
即(1,2)(1﹣a,﹣2)=0,整理可得:1﹣a﹣4=0,解得a=﹣3,
所以C的坐标为:,
故答案为:.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于数列,若存在
,使得
对任意
都成立,则称数列
为“
折叠数列”.
(1)若,
,判断数列
,
是否是“
折叠数列”,如果是,指出m的值;如果不是,请说明理由;
(2)若,求所有的实数q,使得数列
是3-折叠数列;
(3)给定常数,是否存在数列
使得对所有
,
都是
折叠数列,且
的各项中恰有
个不同的值,证明你的结论.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(
为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
.
(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程;
(2)已知P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的切线,切点为A,求|PA|的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线:
(α为参数)经过伸缩变换
得到曲线
,在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程;
(2)设点P是曲线上的动点,求点P到直线l距离d的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥的侧棱
与四棱锥
的侧棱
都与底面
垂直,
,
,
,
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)在棱上是否存在点M,使平面
与平面
所成角的正弦值为
?如果存在,指出M点的位置;如果不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列满足奇数项
成等差,公差为
,偶数项
成等比,公比为
,且数列
的前
项和为
,
,
.
若
,
.
①求数列的通项公式;
②若,求正整数
的值;
若
,
,对任意给定的
,是否存在实数
,使得
对任意
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com