Question

【题目】如图，四棱锥的侧棱与四棱锥的侧棱都与底面垂直，，，，，，.

（1）证明：平面；

（2）在棱上是否存在点M，使平面与平面所成角的正弦值为？如果存在，指出M点的位置；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M点与F点重合

【解析】

（1）根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得，再根据勾股定理分别求出，即可证得四边形为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，得到点的坐标，再分别求出平面的法向量和平面的法向量，根据二面角的向量计算公式，即可建立方程，解出，即可确定M点的位置．

（1）∵，∴

∵，，∴，同理可得

又，，∴

∵，∴四边形为平行四边形，则，而平面，平面∴平面.

（2）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

则，

令（），则

设平面的法向量，则

即，得

又平面的法向量，

设平面与平面的夹角为，则，

∴，则

即：M点与F点重合时满足题意.