【题目】在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(Ⅰ)求证:AB∥平面DEG;
(Ⅱ)求证:BD⊥EG;
(Ⅲ)求多面体ADBEG的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)4
【解析】
(Ⅰ) 先证明四边形ADGB是平行四边形,可得AB∥DG,从而证明AB∥平面DEG.
(Ⅱ) 过D作DH∥AE交EF于H,则DH⊥平面BCFE,DH⊥EG,再证BH⊥EG,从而可证EG⊥平面BHD,故BD⊥EG.
(Ⅲ)要求多面体ADBEG的体积,利用分割的思想转化为VADBEG=VD﹣AEB+VD﹣BEG转化为求两个三棱锥的体积即可.
(Ⅰ)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.
又∵BC=2AD,G是BC的中点,∴,∴四边形ADGB是平行四边形,∴AB∥DG,∵AB
平面DEG,DG
平面DEG,∴AB∥平面DEG.
(Ⅱ)∵EF⊥平面AEB,AE平面AEB,∴EF⊥AE,
又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE.
过D作DH∥AE交EF于H,连接,则DH⊥平面BCFE.
∵EG平面BCFE,∴DH⊥EG.
∵AD∥EH,DH∥AE,∴四边形AEHD平行四边形,∴EH=AD=2,
∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE,
∴四边形BGHE为正方形,∴BH⊥EG,
又BH∩DH=H,BH平面BHD,DH平面BHD,∴EG⊥平面BHD.
∵BD平面BHD,∴BD⊥EG.
(Ⅲ)∵EF⊥平面AEB,AD∥EF,∴AD⊥平面AEB,
由(2)知四边形BGHE为正方形,∴BE⊥BC.
∴VADBEG=VD﹣AEB+VD﹣BEG4.
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【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验669人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.
方案一:将每个人的血分别化验,这时需要验669次.
方案二:按个人一组进行随机分组,把从每组
个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这
个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验
次);否则,若呈阳性,则需对这
个人的血样再分别进行一次化验,这时该组
个人的血总共需要化验
次.
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为,且这些人之间的试验反应相互独立.
(1)设方案二中,某组个人中每个人的血化验次数为
,求
的分布列.
(2)设,试比较方案二中,
分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案一,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)
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【题目】已知椭圆的离心率
,且椭圆过点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与
交于
、
两点,点
在椭圆
上,
是坐标原点,若
,判定四边形
的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】对于数列,若存在
,使得
对任意
都成立,则称数列
为“
折叠数列”.
(1)若,
,判断数列
,
是否是“
折叠数列”,如果是,指出m的值;如果不是,请说明理由;
(2)若,求所有的实数q,使得数列
是3-折叠数列;
(3)给定常数,是否存在数列
使得对所有
,
都是
折叠数列,且
的各项中恰有
个不同的值,证明你的结论.
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【题目】如图,四棱锥的侧棱
与四棱锥
的侧棱
都与底面
垂直,
,
,
,
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)在棱上是否存在点M,使平面
与平面
所成角的正弦值为
?如果存在,指出M点的位置;如果不存在,请说明理由.
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