【题目】已知椭圆的离心率
,且椭圆过点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与
交于
、
两点,点
在椭圆
上,
是坐标原点,若
,判定四边形
的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)是定值,其定值为
.
【解析】
(1)设椭圆的焦距为
,根据题意得出关于
、
、
的方程组,求出
和
的值,即可得出椭圆
的标准方程;
(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,当直线
轴时,可得出直线
的方程为
,可求出四边形
的面积;当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,求出点
的坐标,将点
的坐标代入椭圆
的方程得出
,计算出
以及原点
到直线
的距离,通过化简计算可得出四边形
的面积为
,进而得证.
(1)设椭圆的焦距为
,由题意可得
,解得
,
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(2)当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
或
.
若直线的方程为
,联立
,可得
,
此时,,四边形
的面积为
,
同理,当直线的方程为
时,可求得四边形
的面积也为
;
当直线的斜率存在时,设直线
方程是
,
代人到,得
,
,
,
,
,
,
点到直线
的距离
,
由,得
,
,
点
在椭圆
上,所以有
,整理得
,
由题意知,四边形为平行四边形,
平行四边形
的面积为
.
故四边形的面积是定值,其定值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出
的最小值.(结论不要求证明)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,且
,
.
(1)证明:平面
;
(2)在线段上,是否存在一点
,使得二面角
的大小为
?如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线(
)上的两个动点
和
,焦点为F.线段
的中点为
,且点到抛物线的焦点F的距离之和为8
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若线段的垂直平分线与x轴交于点C,求
面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】目前,中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式,占用上万亩土地,并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来,减轻了土地的严重侵蚀,减少了土地流失. 2020年5月1日起,北京市将实行生活垃圾分类,分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用,分出可回收垃圾既环保,又节约资源. 如:回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸,可以挽救17棵大树,少用纯碱240千克,降低造纸的污染排放75%,节省造纸能源消耗40%~50%.
现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况,其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表:
|
|
|
|
| |
废纸投放量(吨) | 5 | 5.1 | 5.2 | 4.8 | 4.9 |
塑料品投放量(吨) | 3.5 | 3.6 | 3.7 | 3.4 | 3.3 |
(Ⅰ)从这5个小区中任取1个小区,求该小区12月份的可回收物中,废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率;
(Ⅱ)从这5个小区中任取2个小区,记
为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数,求
的分布列及期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为,高为
,圆锥的母线长为
.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1);
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com