Question

【题目】对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”.

（1）若，，判断数列，是否是“ 折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；

（2）若，求所有的实数q，使得数列是3-折叠数列；

（3）给定常数，是否存在数列使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）是“折叠数列”，不是“折叠数列”，理由见解析；（2）或或；（3）存在，证明见解析.

【解析】

（1）由给的定义进行求解；

（2）根据题中所给定义，列方程讨论q的取值可得出结果；

（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列的图象有无数条对称轴，可联想三角函数求解.

解：（1）若数列为“ 折叠数列”，则，

所以，

所以，得，

所以为“ 折叠数列”， ；

若数列是“ 折叠数列，则，

所以，得，

所以数列不是“ 折叠数列；

（2）要使通项公式为的数列是3-折叠数列，只需，

当时， ，显然成立，

当时，由，得，，（），

所以或，

综上，或；

（3）对给定的，都是折叠数列，故有多条对称轴，其中都是数列的对称轴，设，由（）得对称轴为，且的周期为，

满足给定常数，使得对所有，都是折叠数列，是周期函数，周期为，在这个周期内，为对称轴，故对应函数值的个数与对应的函数值个数相等，即时，

所以在上单调递增，

因为，所以各项中共有个不同的值，

综上，给定常数，存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值