Question

【题目】已知四边形是边长为5的菱形，对角线（如图1），现以为折痕将菱形折起，使点达到点的位置，棱，的中点分为，，且四面体的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段长度的取值范围为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据外接球的性质确定出四面体的外接球球心，利用勾股定理，求出和，进而求出，借助三角函数的取值范围及，即可求得线段长度的取值范围.

如图，由题意可知，的外心在中线上，

设过点的直线平面，易知平面，

同理的外心在中线上，

设过点的直线平面，则平面，

由对称性易知，直线，的交点在直线上，

根据外接球的性质，点为四面体的外接球球心，

，，

又，

由勾股定理可得，即，解得，

在中，，即，解得，

而，，

所以，

令，显然，

所以，

因为，所以，又，

所以，即，

综上所述，.

故答案为：.