【题目】正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.
【答案】
(或2)
【解析】
由已知得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG.然后证明AG⊥EF,且求得AG与EF的长度,可得截面四边形的面积;再求出四棱锥P﹣AEGF的体积与原正四棱锥的体积,则平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求.
解:如图,
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG.
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE=GF,PE=PF,
在△PAE与△PAF中,由PA=PA,PE=PF,∠APE=∠APF,得AE=AF.
∴AG⊥EF.
在等腰三角形PBC中,由PB=PC=2,BC=2,得cos∠BPC
,
则在Rt△PGE中,得.
同理PF,则EF∥DB,得到
.
∴;
则.
又,
∴平面α将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为.
故答案为:;
(或2).
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【题目】已知函数f(x)=axex,g(x)=x2+2x+b,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)都过点P(1,c).且在点P处有相同的切线l.
(Ⅰ)求切线l的方程;
(Ⅱ)若关于x的不等式k[ef(x)]≥g(x)对任意x∈[﹣1,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知点,点
在
轴上,点
在
轴上,且
.当点
在
轴上运动时,点
的轨迹记为曲
.
(Ⅰ)求曲线的轨迹方程;
(Ⅱ)过曲线上一点
,作圆
的切线,交曲线
于
两点,若直线
垂直于直线
,求
的面积.
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【题目】新型冠状病毒属于属的冠状病毒,人群普遍易感,病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现,现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果,病毒潜伏期一般为1-14天,大多数为3-7天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延,减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查,检查结果统计如下:
发热且咳嗽 | 发热不咳嗽 | 咳嗽不发热 | 不发热也不咳嗽 | |
确诊患病 | 200 | 150 | 80 | 30 |
确诊未患病 | 150 | 150 | 120 | 120 |
(1)能否在犯错率不超过0.001的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关.
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.645 | 7.879 | 10.828 |
(2)在全国人民的共同努力下,尤其是全体医护人员的辛勤付出下,我国的疫情得到较好控制,现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者(即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳者).根据防控要求,无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎,但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天,已知某人曾与无症状感染者密切接触,而且在家已经居家隔离10天未有临床症状,若该人员居家隔离第天出现临床症状的概率为
,
,两天之间是否出现临床症状互不影响,而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗,若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离,求该人员在家隔离的天数(含有临床症状表现的当天)
的分布列以及数学期望值.(保留小数点后两位)
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【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,正方形
边长为2,
是
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:直线与平面
所成角的正弦值为
,求
的长度;
(3)若,线段
上是否存在一点
,使
平面
,若存在求
的长度,若不存在则说明.
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【题目】如图,在正方体中,P,Q,M,N,H,R是各条棱的中点.
①直线平面
;②
;③P,Q,H,R四点共面;④
平面
.其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知四边形是边长为5的菱形,对角线
(如图1),现以
为折痕将菱形折起,使点
达到点
的位置,棱
,
的中点分为
,
,且四面体
的外接球球心落在四面体内部(如图2),则线段
长度的取值范围为________.
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【题目】如图,已知平行四边形中,
,
,
为边
的中点,将
沿直线
翻折成
.若
为线段
的中点.
(1)证明平面
,并求
的长;
(2)在翻折过程中,当三棱锥的体积取最大时,求平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
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