Question

【题目】如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成.若为线段的中点.

（1）证明平面，并求的长；

（2）在翻折过程中，当三棱锥的体积取最大时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)取的中点,连接,证明四边形为平行四边形即可.

(2)易得当三棱锥的体积取最大时,面面,再以为坐标原点建立空间直角坐标系,再分别求出面与面的法向量,进而求得平面与平面所成的二面角的余弦值即可.

(1) 取的中点,连接,因为为线段的中点,故为的中位线,故.又平行四边形中,为边的中点,故,故.故四边形为平行四边形,故.又平面,平面,故平面.

(2)因为为线段的中点,故,故当三棱锥的体积取最大时三棱锥的体积取最大.故此时面面.

因为,.故边长是2的正三角形., 故,解得.故,故.故以为原点建立如图空间直角坐标系.

则平面的一个法向量为.

,,.故,.

设平面的一个法向量为,则因为,即,

取有,.故.
设平面与平面所成的二面角为,则.

故平面与平面所成的二面角的余弦值为